Montrer que si si une intégrale est absolument convergente, alors elle est convergente

Hypothèse
Soit \(J_R=\int^R_0\lvert f(x)\rvert\,dx\) convergente vers \(\int^{+\infty}_0\lvert f\rvert\)

Montons que \(I_R=\int^R_0f(x)\,dx\) converge en utilisant le critère de Cauchy $$\begin{align}\lvert I_R- I_{R^\prime}\rvert&=\left|\int^R_0 f-\int^{R^\prime}f\;\right|\\ &\underset{\text{Chasles}}=\left|\int^{R^\prime}_Rf\;\right|\\ &\underset{\text{inégl triang}}\leqslant\int^{R^\prime}_R\lvert f\rvert\\ &\underset{\text{Chasles}}= I_R-I_{R^\prime}\end{align}$$

(Suite de Cauchy, Intégrale - Intégration (Relation de Chasles), Inégalité triangulaire)